对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握了随机变量取值的统计规律。在实际问题中,我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征,最常用的有期望与方差。
一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
则称
Eξ=x
1p
1+x
2p
2+…+x
np
n+…
为ξ的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
既然期望就是平均数,哪它与我们初中学过的平均数到底是不是一回事?可以肯定地说,就是一回事!
初中学过:一组数据:x
1,x
2,x
3,…,x
n的平均值x=(x
1+x
2+x
3+…+x
n)/n,
这与上面期望的定义式究竟是什么关系?是特殊与一般的关系!
试看,如果期望定义式中的p
1=p
2=…=p
n=1/n,那期望不就成了初中的平均数了吗?实际上,初中学过的平均值只不过是等可能性事件时离散型随机变量的期望,自然就是现在所说的数学期望的特殊情形了.而现在的数学期望包含了更广泛的意义,因为不一定离散型随机变量
x 的每一个取值都出现一次,可能有的多有的少,所以按照他们出现的频率来求平均值是合理的,也是应该的.
若η=aξ+b,其中a,b为常数,则η也是随机变量.因为
P(η=ax
i+b)=P(ξ=x
i);i=1,2,3,…
所以,η的分布列为
η |
ax1+b |
ax2+b |
… |
axn+b |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
于是
Eη=(ax
1+b)p
1+(ax
2+b)p
2+…+(ax
n+b)p
n+…
=a(x
1p
1+x
2p
2+…+x
np
n+…)+b(p
1+p
2+…+p
n+…)
=aEξ+b,
即
下面考察服从二项分布的随机变量的期望.
设在一次试验中某事件发生的概率是p,η是一次试验中此事件发生的次数,令q=1-p,则
P(η=0)=q,P(η=1)=p,Eη=0×q+1×p=p,由此可知,在一次试验中此事件平均发生p次.我们有理由猜想,在n次独立重复试验中,此事件平均发生np次,即若ξ~B(n,p),则Eξ=np.下面对此作出证明.
∵P(ξ=k)=C
nkp
k(1-p)
n-k=C
nkp
kq
n-k,
∴Eξ=0×C
nkp
0q
n+1×C
n1p
1q
n-1+2×C
n2p
2q
n-2+…+kC
nkp
kq
n-k+…+nC
nnp
nq
0
=np(C
n-10p
0q
n-1+C
n-11p
1q
n-2+…C
n-1k-1p
k-1q
(n-1)-(k-1)+…C
n-1n-1p
n-1q
0)
=np(p+q)
n-1
=np.
所以,
若随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则可以证明,Eξ=1/p.
究竟怎样证明?且听下回分解!
posted on 2007-06-18 16:46
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